.
Ξεκινώντας από μια εικόνα "σαν" (καθότι με 16 χρώματα) κι αυτήν :
474
О ПОНЯТИЯХ ВЕЛИЧИНЫ И ЧИСЛА
А. Н. Колмогоров
Публикация и примечания А. М. Абрамова,
В. М. Тихомирова
Сентябрь—октябрь 1923 г.
Математический семинар VIII гр.
I и II два собрания по 1 1/2h
I
Число и его обобщение
1. В школах изучение арифметики начинают с изучения целых чисел и действий над ними Это, конечно, правильно, так как в жизни они встречаются раньше всего и в самых простых вопросах. Вопрос, только имеется какихлибо предметов, интересует лходей постоянно.
Ученые—математики тоже стараются все положення, касающиеся чисел дробных, иррациональных, отрицательных и мнимым вывести из основных свойств целых чисел. И это потому, что свойства целых чисел можно считать очевидными, то есть не требующими доказательства. Например, ясно, что, прибавив к одному числу другое, мы получим тот же результат, что и прибавив первое число ко второму; но для чисел отрицательных, или тем более мнимых, такое утверэкдение нельзя считать очевидным.
В последнее время пытаются доказывать и самые простые свойства целых чисел. Такие исследования имеют большое значение, но они слишком специальны п: ТРУД“ вы, чтобы мы могли излагать их здесь.
2. Любые два целых числа можно сложить, причем получается новое число, большее каждого из данных дьyx Прибавляя к числу единицу, получаем ближайшее ШеДУЮЩВВ за ним (т., е. большее его) число. Поэтому ряд Целых чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . .. . не может окончиться на каком—либо числе. Иначе говоря, РЯД чисел не имеет конца, он бесконечен.
3. Два целых числа всегда можно умножить ОДНО На другое, в результате чего получается новое целое ЧЕСНОИ. наче обстоит дело с обратным действием, делением. Пока мы принимаем в расчет только целые числа, мы доляикы
474
ON THE CONCEPTS OF VALUE AND NUMBER
A. N. Kolmogorov
Publication and notes by A. M. Abramov, V. M. Tikhomirov
September-October 1923
Math Seminar VIII
I and II, two meetings of 1 1/2 h
I
Number and its generalization
1. In schools, the study of arithmetic begins with the study of integers and operations on them. This, of course, is correct, since in life they occur first of all and in the simplest questions. The question is, only there are any objects, people are constantly interested.
Scientists-mathematicians also try all the provisions, relating to numbers fractional, irrational, negative and imaginary deduce from the basic properties of integers. And this is because the properties of integers can be considered obvious, that is, not requiring proof. For example, it is clear that by adding another number to one, we get the same result as adding the first number to the second; but for negative numbers, or even more imaginary ones, such a statement cannot be considered obvious.
Recently, attempts have been made to prove the simplest properties of integers. Such investigations are of great importance, but they are too specialized for us to present them here.
2. Any two integers can be added, and a new number is obtained that is greater than each of the given x.
Adding one to the number, we get the next (i.e., greater) number after it. Therefore, a series of Integers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... cannot end in any number. In other words, the series of numbers has no end, it is infinite.
3. Two integers can always be multiplied one by the other, resulting in a new whole number. The situation is different with the reverse action, division.
1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234
[ Απόδοση-Προσθήκες-Σχόλια με βάση το ελληνικό κείμενο -το οποίο όμως
[ ΔΕΝ παρατίθεται εδώ- της αυτόματης μετάφρασης του αγγλικού κειμένου,
[ που προέκυψε από την προηγούμενη αυτόματη μετάφραση του ρωσικού
[ κειμένου, από το γκούγκλι, ενώ το αρχικό αυτό κείμενο στα ρωσικά
[ εξήχθη με το OCR του PDF-XChange από το κυκλοφορούν pdf φωτογραφιών
[ - ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΠΟΤΈ ΠΩΣ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΡΙΤΩΝ ΑΠΟ
[ ΕΚΕΙΝΑ ΠΟΥ ΤΟΤΕ ΕΙΠΕ -ΤΟ 1923- Ο KOLMOGOROV (γεννήθηκε το 1903,
[ άρα αυτά είναι μάλλον από τα χρονολογικώς πρώτα του: η δημοσιευμένη
[ Εργογραφία του -από καταγραφές της αλλού -π.χ. "Selected Works of
[ A. N. Kolmogorov: Volume I"- φαίνεται να μην ξεκινά πριν το 1923 - κι
[ αυτό είναι αξιοσημείωτο: καθότι, μέχρι στιγμής τουλάχιστον, όλα δείχνουν
[ πως αυτά εδώ -που επίσης σημειωτέον: ΔΕΝ αναφέρονται στις εν λόγω
[ Εργογραφίες, αφού ΔΕΝ φαίνεται ούτε να τα δημοσίευσε ούτε να τα
[ συνέγραψε ο ίδιος- είναι από τα εντελώς πρώτα του = Άρα; - Άρα, με
[ τέτοιες "απόψεις" -για να μην πούμε "ιδέες", για το 1923...- ξεκίνησε,
[ πάνω σε αυτές "πάτησε", κι έκανε "εκείνα που δεν είναι είναι" - κι αυτό
[ είναι εδώ "ΤΟ" ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΑΤΟ!) : Ν.Ι.Γιαννοπούλου-Π.Ε.Ζιμουρτόπουλος
[ Ακέραιοι Αριθμοί ή Ακέραιοι της Αριθμητικής είναι οι 1, 2, 3, ... και το 0.
474
ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
A. N. Kolmogorov
Δημοσίευση και σημειώσεις των A. M. Abramov, V. M. Tikhomirov
Σεπτέμβριος-Οκτώβριος 1923 [Ο Kolmogorov γεννήθηκε το 1903]
Μαθηματικό Σεμινάριο VIII
I και II : Δύο συναντήσεις διάρκειας 1+1/2 ώρας
I
Ο Ακέραιος Αριθμός και η Γενίκευσή του
1. Στα σχολεία η μελέτη της αριθμητικής αρχίζει με τη μελέτη των Ακεραίων
Αριθμών και των πράξεων επί αυτών.
1234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234
Αυτό, βέβαια, είναι σωστό, επειδή στη ζωή αυτοί είναι αυτοί είναι που
υλοποιούνται πρώτα από όλα και στις απλούστατες των ερωτήσεων. Και η αναρώτηση είναι
μόνον στο ότι υπάρχουν κάποια αντικείμενα κι οι άνθρωποι ενδιαφέρονται
πάντα.
-
[ "σωστό"-"ζωή"-"αποκλειστικά": χμ... για τις -μόνον φαινομενικά- "προφανείς"
[ ή "άνετες" ή "ξένοιαστες" ή "φυσιολογικές" σχετικές "δικαιολογίες" θα πρέπει
[ να ληφθεί οπωσδήποτε υπ' όψιν ότι εδώ βρισκόμαστε στα σύνορα Φιλοσοφίας
[ και Επιστήμης, όπως αυτά καθορίζονται από το Ιστορικό Πλαίσιο της Ρωσίας
[ του 1923
-
Επιστήμονες-μαθηματικοί επίσης δοκιμάζουν όλα τα εφόδια που σχετίζονται με
αριθμούς κλασματικούς, άρρητους, αρνητικούς και φανταστικούς, που
συνάγουν από τις βασικές ιδιότητες των ακεραίων.
Και αυτό γιατί οι ιδιότητες των ακεραίων μπορούν να θεωρηθούν προφανείς,
δηλαδή να μην απαιτούν απόδειξη.
Για παράδειγμα, είναι σαφές ότι προσθέτοντας έναν άλλο αριθμό στο ένα,
έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα με την προσθήκη του πρώτου αριθμού στον
δεύτερο. αλλά για αρνητικούς αριθμούς, ή ακόμα πιο φανταστικούς, μια
τέτοια δήλωση δεν μπορεί να θεωρηθεί προφανής.
Πρόσφατα [1923], έχουν γίνει προσπάθειες να αποδειχθούν οι απλούστερες
ιδιότητες των ακεραίων. Τέτοιες έρευνες έχουν μεγάλη σημασία, αλλά είναι
πολύ εξειδικευμένες για να τις παρουσιάσουμε εδώ.
2. Μπορούν να προστεθούν οποιοιδήποτε δύο Ακέραιοι αριθμοί και λαμβάνεται
ένας νέος [Ακέραιος] αριθμός που είναι μεγαλύτερος από καθένα από τα δοσμένα
x.
Προσθέτοντας ένα στον αριθμό, παίρνουμε τον επόμενο (δηλαδή μεγαλύτερο)
αριθμό μετά από αυτόν. Επομένως, μια σειρά από Ακέραιους:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
δεν μπορεί να τελειώνει σε κανέναν αριθμό.
Με άλλα λόγια, η σειρά των αριθμών [εδώ: Ακεραίων] δεν έχει τέλος, είναι
άπειρη.
3. Δύο ακέραιοι μπορούν πάντα να πολλαπλασιαστούν ο ένας με τον άλλον,
με αποτέλεσμα έναν νέο ακέραιο αριθμό. Η κατάσταση είναι διαφορετική με
την αντίστροφη δράση, τη διαίρεση.
.