Μετρήσεις Αντίστασης με Multimeters και LCR Meters

[GeorgeVita]

Παρακάτω οι μετρήσεις με αρκετά καλή ακρίβεια και στην θερμοκρασία.

Όλες οι μετρήσεις των αντιστάσεων, Ω 4W ("4 wires"), κλίμακα 10ΚΩ, 10 NPLC, το όργανο στη θερμοκρασία δωματίου (θ1~20°C).
Η μέτρηση της θερμοκρασίας με probe Thermometrics, θερμίστορ 10ΚΩ ±0.1°C (συμβατό με YSI), 2W ("2 wires"), 10 NPLC.
Τοποθέτηση της μύτης του probe σε επαφή με την αντίσταση, προστασία του συνόλου από ροή αέρα, παρατήρηση για σταθερότητα πριν την καταγραφή.

Κώδικας: Επιλογή όλων

A/A	  R@θ1	  θ1	  R@θ2	 θ2	  ΔR	  Δθ	ppm/°C
---	  ----	  --	  ----	 --	  --	  --	------
#10	5.08871	20.11	5.08808	9.36	0.00063	10.75	11.52
#11	5.08927	19.49	5.08917	8.71	0.00010	10.78	01.82
#12	5.08890	20.50	5.08836	8.48	0.00054	12.02	08.83
#13	5.08892	20.12	5.08805	8.58	0.00087	11.54	14.82
#14	5.08921	20.92	5.08830	8.56	0.00091	12.36	14.47

Η στήλη ppm/°C υπολογίστηκε ως προς την αντίσταση R@θ1, δηλαδή: "ΔR" x 1000000 / "R@θ1" / Δθ

[pez]

Η στήλη ppm/°C υπολογίστηκε ως προς την αντίσταση R@θ1, δηλαδή: "ΔR" x 1000000 / "R@θ1" / Δθ

.
Πολύ Καλή Εργασία!

Πρακτικά -αλλά ΚΑΙ θεωρητικά, αφού ΜΠΟΡΕΙ να χρησιμοποιηθεί ΚΑΙ σε απόπειρες Πρόβλεψης-Εξήγησης- Χρήσιμη.

Του ως άνω τύπου όμως
-
οι συνθήκες ισχύος του οποίου είναι αυτές που η επαλήθευσή τους "με έχει καθηλώσει" : ) εδώ και μέρες στο : D γράψε-σβήσε-ξαναγράψε-και-ξανασβήσε με αποτέλεσμα να έχω πέσει πολύ έξω χρονικά και να μην έχω καταφέρει ακόμα να εκθέσω τις σκέψεις μου εδώ
-
έχω ήδη "επιφυλαχθεί" : ) για την δυνατότητα της συμμετρικής, ας την πούμε, χρήσης του, ήτοι με την εναλλαγή των ( R1 , θ1 ) με τα ( R2 , θ2 ), αντιστοίχως, αφού, ΠΑΡΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΠΛΑΝΗΤΙΚΗ ΕΝΤΥΠΩΣΗ που δημιουργούν οι διαφορές ΔR και Δθ, που περιλαμβάνονται στην μορφή του, εμφανίζεται εκεί, ΕΚΤΟΣ ΑΠΟ ΑΥΤΕΣ, ΜΟΝΟΝ Η ΜΙΑ από τις δύο τιμές R στην αντίστοιχη μόνον μία από τις δύο αυτές θερμοκρασίες, οπότε και θα πρέπει να τον χρησιμοποιούμε -στην εν λόγω μορφή του- ΠΑΝΤΑ με θ2 < θ1 , ειδάλλως, δηλαδή αν τον χρησιμοποιούμε ΚΑΙ με την άλλη δυνατότητα θ1 < θ2 τότε μπορεί να παραχθούν αντιφατικά μεταξύ τους αποτελέσματα για την τιμή του θερμικού θερμοκρασιακού συντελεστή (ενώ η τρίτη και τελευταία θεωρητική δυνατότητα θ1 = θ2 έχει ήδη αποκλειστεί εκ προοιμίου, αφού ο τύπος απαιτεί δύο -προφανώς διαφορετικές- θερμοκρασίες).
.

[pez]

Η στήλη ppm/°C υπολογίστηκε ως προς την αντίσταση R@θ1, δηλαδή: "ΔR" x 1000000 / "R@θ1" / Δθ

...
ΠΑΝΤΑ με θ2 < θ1
...

.
... οπότε -κρατώντας τον ίδιο συμβολισμό- η ppm/°C θα υπολογιστεί ως προς την αντίσταση R@θ2, δηλαδή "ΔR" x 1000000 / "R@θ2" / Δθ

Εντάξει. Δεν αντιλέγω. Είναι μικροδιαφορές. Αλλά μήπως από τις μικροδιαφορές δεν βρήκαμε την ανατροπή της σειράς;

Χαιρετισμούς!
.

[GeorgeVita]

Φαντάζομαι (δεν το έχω επιβεβαιώσει), ο κατασκευαστής θα υπολογίζει το TC σε σχέση με την τυπική τιμή της αντίστασης, οπότε εδώ, όλες, 5.1ΚΩ.
Εμείς, επειδή προχωρήσαμε λίγο παραπάνω, για τη μέτρηση της πραγματικής αντίστασης κάθε εξαρτήματος, ίσως να πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την R@25°C ή όποια άλλη θερμοκρασία θεωρείται η τυπική γα τον προσδιορισμό της. Προς το παρόν, αυτή η "τυπική" θερμοκρασία στις μετρήσεις μας είναι στους 20°C +/-1°C.

Προσθήκη:
Στο datasheet των αντιστάσεων SMA0207 σελ.11 αναφέρει:
IEC 60115-1 CLAUSE 4.8
TEST: Temperature Coefficient
PROCEDURE: At (20 / -55 / 20) °C and (20 / 155 / 20) °C
REQUIREMENTS PERMISSIBLE CHANGE (ΔR max.): +/-50ppm, +/-25ppm

Οι δικές μας αντιστάσεις είναι +/-50ppm.

Άλλοι κατασκευαστές αναφέρουν: "TEST METHOD: IEC-60115-1 4.8, -55°C~+125°C, 25°C is the reference temperature"

[pez]

.
Μόλις τελείωσα την εικόνα που εδώ και τόσο καιρό έφτιαχνα για το θέμα. Θα δούμε όμως αν θα τα καταφέρω και να την δείξω.
.

[pez]

.
[1]: Δευτέρα 6 Φεβρουαρίου - Το μεσημέρι : Διορθώσεις-Αναδιατυπώσεις-Προσθήκες -

[2]: Δευτέρα 6 Φεβρουαρίου - Το απόγευμα : Διορθώσεις - Βασική : όπου για την σχέση R και θ γράφαμε ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ "θερμικός συντελεστής", το ορθόν "θερμοκρασιακός συντελεστής" - Έγιναν και Αναδρομικές Διορθώσεις σε όλα τα σχετικά μηνύματα με βάση τα αποτελέσματα που επιστρέφει η [Αναζήτηση]/[Search] για το λήμμα "θερμικ*" - Επίσης [wikipedia] αντί της μονάδας "oK", από εδώ και στο εξής η εν χρήσει τώρα πια μονάδα "Κ", σκέτο, λατινικό, από το όνομα του "Kelvin"
.

Re: Μετρήσεις Αντίστασης με Multimeters και LCR Meters:

1

Φαντάζομαι (δεν το έχω επιβεβαιώσει), ο κατασκευαστής θα υπολογίζει το TC σε σχέση με την τυπική τιμή της αντίστασης, οπότε εδώ, όλες, 5.1ΚΩ.

- Επισημαίνω το "υπολογίζει". Ο Οποιοσδήποτε. Όχι μόνον ο Κατασκευαστής. Και με την ευκαιρία (διότι έχει κι αυτό την σημασία του): Επαγγελματίας-Κατασκευαστής-Και-Πωλητής. Αναρωτιέμαι: Γιατί να το "υπολογίζει" και να μην το "μετρά"; Απαντώ (Με Επιφύλαξη): Διότι δεν μπορεί να το μετρήσει. Αναρωτιέμαι: Και γιατί δεν μπορεί να το μετρήσει; Απαντώ (Με Επιφύλαξη): Διότι είναι λόγος ποσοτήτων διαφορετικού "είδους" [Με την ευκαιρία: ποσότητα λέγεται κάθε ιδιότητα που έχουμε (εμείς οι άνθρωποι) καταφέρει να την "εκφράζουμε" διαπιστώνοντας το "πόσο" είναι, ποσοτικά, αριθμητικά]: "Η Αντίσταση είναι Διαφορετικού Είδους Ποσότητα από την Ποσότητα Θερμοκρασία" [Αμφιβολία : "Κι εμείς πού το ξέρουμε"; - Απάντηση : "Το διαισθανόμαστε". Όχι μόνον εμείς αλλά κι εκείνοι που από αν όχι από ακριβώς ίδια εν πάση περιπτώσει "παρόμοια" διαίσθηση αποφάσισαν πως ΔΕΝ ανήκουν στο ίδιο είδος και τις έδωσαν ασυσχέτιστες μονάδες μέτρησης, αφενός για την αντίσταση το Ω, μια "παράγωγη" μονάδα που ανάγεται στις "βασικές" μέσω της ισότητάς της προς το "γινόμενο" των "βασικών" [wikipedia] kg⋅m^2⋅s^−3⋅A^−2, και αφετέρου [wikipedia] το K, που είναι μια από τις "βασικές" μονάδες, ανεξάρτητη από κάθε άλλη, άρα και από κάθε μία από τις ως άνω "βασικές" μονάδες που μετέχουν στον ορισμό-"γινόμενο" του Ω, όθεν ουσιωδώς διαφορετικές (φυσικές) μονάδες οι οποίες έτσι μετρούν ποσότητες από διαφορετικά "είδη" - ακόμα μια φορά: όλα αυτά άνθρωποι τα αποφάσισαν λίγο-πολύ από κοινού και άνθρωποι επίσης όλο λίγο-πολύ όλο τα αλλάζουν όλα] - Λόγος λοιπόν: Αντίσταση-Αριθμητής-Προς-Θερμοκρασία-Παρανομαστής. Αντίσταση μπορεί να μετρήσει. Θερμοκρασία μπορεί να μετρήσει. Τον Λόγο τους όμως δεν μπορεί να τον μετρήσει. Μπορεί να Δείχνει πως Μπορεί να το κάνει - π.χ. γράφοντας επάνω σε μια κλίμακα "κατάλληλα βαθμολογημένη" αριθμούς μονάδων Ω/K [όπως και km/h πάνω σε ένα ταχύμετρο]. Αλλά στην πραγματικότητα: Δεν Μπορεί. Μπορεί να Υπολογίζει. Είπαμε: Με Επιφύλαξη. Οπ! - κι όχι Ώπ! που έγραφα μέχρι σήμερα... Εδώ ΔΕΝ είναι ακριβώς ο λόγος Αντίσταση-σε-θερμοκρασία-Προς-Θερμοκρασία! Είναι Λόγος ΔΙΑΦΟΡΩΝ! Είναι: Αντιστάσεων Διαφορά-Προς-Διαφορά Θερμοκρασιών! "Ό,τι Το Χειρότερο" : ) δηλαδή... Εξηγούμαι (με επιφύλαξη): Υπάρχουν δύο τρόποι να συγκρίνουμε οποιεσδήποτε ποσότητες -που όπως είπαμε είναι αριθμοί- άρα τρόποι σύγκρισης αριθμητικοί: (α) Με Διαφορές: Η Αντίσταση R' είναι μεγαλύτερη-ίση-μικρότερη της R αν-και-μόνον-αν η Διαφορά R' - R είναι αντιστοίχως μεγαλύτερη-ίση-μικρότερη του Μηδέν [και με την ευκαιρία: Η Διαφορά αυτή μπορεί να σχηματισθεί ΠΑΝΤΑ], και (β) Με Λόγους: Η Θερμοκρασία θά είναι μεγαλύτερη-ίση-μικρότερη της θ αν-και-μόνον-αν ο Λόγος θ'/θ [Και Με την Ευκαιρία: Αλλά ο Λόγος αυτός μπορεί να σχηματισθεί ΠΑΝΤΑ ΣΧΕΔΟΝ, ήτοι ΠΑΝΤΑ-ΕΚΤΟΣ-ΑΠΟ-ΤΗΝ-ΜΙΑ-ΚΑΙ-ΜΟΝΟΝ-ΜΙΑ-ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: ο παρανομαστής είναι ήδη το Μηδέν, θ = 0] είναι αντιστοίχως μεγαλύτερος-ίσος-μικρότερος του Ένα [και με την ευκαιρία αυτή, διότι κι αυτό έχει την σημασία του: από ό,τι όλα δείχνουν Αυτός Ήταν, αν Όχι ο μοναδικός, εν πάση περιπτώσει ο Αγαπημένος Τρόπος Σύγκρισης των Ελλήνων - αυτών δηλαδή που θεμελίωσαν την Συστηματική Μελέτη των Μετρήσεων (με τις οποίες εδώ ασχολούμαστε) αφού (Με Επιφύλαξη) Αυτοί Δεν Είχαν Ποσοτικοποιήσει-Ενσωματώσει στους Λογαριασμούς τους Το Μηδέν. Άρα; Συγκρίσεις (Ασφαλείς-Βέβαιες, θα λέγαμε) ΜΟΝΟΝ με Λόγους. Αφού, επί πλέον, δεν ετίθετο για αυτούς καν το σημερινό θέμα μιας διαίρεσης με Το Μηδέν]. Κι εδώ έχουμε βρει μπροστά μας "ό,τι το χειρότερο" : ) Έναν Λόγο Διαφορών... ( R' - R ) / ( θ' - θ ). [Χμ... Μια Διπλή Σύγκριση; Και γιατί Όχι Διαφορά Λόγων... R' / θ' - R / θ ; Απαντώ (Με Επιφύλαξη): Φαίνεται πως Εξαρτάται από το τι θέλουμε να εκφράσουμε - Αλλά αυτό είναι ένα εντελώς άλλο γενικό ζήτημα, για το οποίο ΔΕΝ είμαστε καθόλου προετοιμασμένοι-ή/και-ενδιαφερόμενοι καν να το θίξουμε, οπότε και το αφήνουμε. Πάντως, εδώ συγκεκριμένα ενδιαφερόμαστε οπωσδήποτε για Λόγους Διαφορών αφού αυτοί ορίζουν (άλλο ένα ζήτημα που μάς πήρε τον καιρό του για να το συνειδητοποιήσουμε και να το βάλουμε στη θέση του στο παζλ της εικόνας που έχουμε καταφέρει να σχηματίσουμε, όπως είπαμε στο προηγούμενο μήνυμα) ΌΧΙ τον θερμικό θερμοκρασιακό συντελεστή: α αλλά ΤΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ: ( α R ). Και στη συνέχεια, για να συγκρίνουμε τα ( α R ) -δηλαδή, να το τονίσουμε και πάλι αυτό: τους Λόγους Διαφορών- ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ αντιστατών. Μάλιστα. Υπολογισμοί, λοιπόν...

2

Εμείς, επειδή προχωρήσαμε λίγο παραπάνω, για τη μέτρηση της πραγματικής αντίστασης κάθε εξαρτήματος, ίσως να πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την R@25°C ή όποια άλλη θερμοκρασία θεωρείται η τυπική γα τον προσδιορισμό της. Προς το παρόν, αυτή η "τυπική" θερμοκρασία στις μετρήσεις μας είναι στους 20°C +/-1°C.

Προσθήκη:
Στο datasheet των αντιστάσεων SMA0207 σελ.11 αναφέρει:
IEC 60115-1 CLAUSE 4.8
TEST: Temperature Coefficient
PROCEDURE: At (20 / -55 / 20) °C and (20 / 155 / 20) °C
REQUIREMENTS PERMISSIBLE CHANGE (ΔR max.): +/-50ppm, +/-25ppm

Οι δικές μας αντιστάσεις είναι +/-50ppm.

Άλλοι κατασκευαστές αναφέρουν: "TEST METHOD: IEC-60115-1 4.8, -55°C~+125°C, 25°C is the reference temperature"

- Χμ... Αλλά ποιον τύπο χρησιμοποιεί Ο Κατασκευαστής; Είναι οριστικώς βέβαιον το ότι χρησιμοποιούμε τον ίδιο τύπο με εκείνον που χρησιμοποιεί Ο Κατασκευαστής; Το ότι δίνει τιμές θερμικού θερμοκρασιακού συντελεστή

-
και μάλιστα σε ένα εντυπωσιακά -για εμάς, τους άπειρους- τόσο μεγάλο εύρος τιμών, όπως είναι για τους δικούς μας αντιστάτες το αναφερόμενο διάστημα [ -50 , +50 ] "ppm"/K, ή 10^-6/K, ή -καταχρηστικά- μ/K, όπου το "μ" για να συμβολίζει τον καθαρό αριθμό, την χωρίς φυσική "διάσταση"
--
"dimension", από το κείμενο της Sattler που αναφέραμε σε προηγούμενο μήνυμα - με την ευκαιρία να πούμε ότι το "point of view" των τεχνικών μετρήσεων, όπως οι δικές μας, της Καθηγήτριας Φιλοσοφίας Sattler κατατάσσεται -από εμάς- σε εκείνα ενός εμβριθούς "common user", ήτοι είναι γνησίως facupov : )
--
έκτη αρνητική δύναμη του 10 : 10^-6 για αντιστάτες με ένα εντυπωσιακά -πάντα: για εμάς, τους άπειρους- τόσο μικρό εύρος "ανοχής" [ -1 , +1 ] %
-

ΔΕΝ σημαίνει ότι χρησιμοποιούμε τον ίδιο τύπο -αν και εδώ που τα λέμε, για να μην ξεχνάμε και την μειονεκτικότατη θέση μας ΚΑΙ στο ζήτημα αυτό, του τύπου, αφού Ο Κατασκευαστής ΔΕΝ υποχρεούται να μας πει οπωσδήποτε ΑΝ ΚΑΙ ΠΟΙΟΝ ακριβώς τύπο χρησιμοποιεί, μιας και το όλον ζήτημα της κατασκευής των αντιστατών μπορεί να είναι άλλο ένα "βιομηχανικό μυστικό", έτσι δεν είναι; Κι όχι σαν κι εμάς που "πάντα τα βγάζουμε όλα στην φόρα" - εντάξει, όπου "όλα", όσα νομίζουμε πως ξέρουμε τέλος πάντων : ) - "χαρτί-και-καλαμάρι" : D

- Αλλά θα έλεγα ότι παρεκτός και θέλουμε να συγκρίνουμε οπωσδήποτε και τις τιμές που εμείς βγάζουμε με εκείνες που μάς (παρα)δίδει Ο Κατασκευαστής, δεν βλέπω να υπάρχει άλλος λόγος -πάντα facupov- για να φύγουμε από τους 20 οC, θερμοκρασία στην οποία και περί την οποία έχουμε ήδη αποτελέσματα, την οποία μάλιστα προτείνουμε να την φιξάρουμε ορίζοντάς την ως την Δική μας - facupov, ε; - Κεντρική Θερμοκρασία για μια "Άνετη Εργασία Διαρκείας".

3

- Οπότε, εκείνο -κατά την γνώμη μας- που αποκτά πρωταρχική σημασία την στιγμή αυτή είναι να αποφασίσουμε -facupov- το ΔΙΚΟ ΜΑΣ διάστημα θερμοκρασιών. Κι αυτό προτείνουμε -facupov ΠΑΝΤΑ- να είναι οι θερμοκρασίες για μια Άνετη Εργασία Διαρκείας μέσα στο Δικό μας "Δωμάτιο" ή Εργαστήριο, που λέμε να είναι αυτό που ΘΑ έχει (που προνοούμε-προβλέπουμε-επιθυμούμε να έχει) καθ' όλη την διάρκεια του έτους, Άνοιξη-Καλοκαίρι-Φθινόπωρο-Χειμώνα, θερμοκρασίες συμμετρικά διατεταγμένες ως προς την Κεντρική Θερμοκρασία, π.χ. το [16 : 20 : 24] οC, που αν και κάτω από τους 18 οC, άντε τους 17 οC, που ορίστηκε ως η θερμοκρασία κεντρικής θέρμανσης του φετινού χειμώνα, οπότε μπορεί να αρχίσεις να χρειάζεσαι και "δεύτερο πουλόβερ" για να Εργάζεσαι, εν τούτοις περιλαμβάνει την κατ' άλλους θερμοκρασία δωματίου 23 οC, ή το [13 : 20 : 27] οC, που περιλαμβάνει την κατ΄άλλους δική τους "θερμοκρασία δωματίου", ή τέλος το [10 : 20 : 30] οC, ή τέλος και το [8 : 20 : 32] οC για να περιλάβουμε τις σχετικά -μάλλον σύντομες- Εργασίες σε Εξωτερικά Περιβάλλοντα : ) τόσο στις "συνήθεις" πια καλοκαιρινές θερμοκρασίες, όσο και σε αυτά τα χαμηλής θερμοκρασίας στα οποία φαίνεται πως δυο φορές εσείς -χωρίς ρητά να το αναφέρετε- Εργαστήκατε : )

Χαιρετισμούς!
.

[GeorgeVita]

... για να περιλάβουμε τις σχετικά -μάλλον σύντομες- Εργασίες σε Εξωτερικά Περιβάλλοντα : ) τόσο στις "συνήθεις" πια καλοκαιρινές θερμοκρασίες, όσο και σε αυτά τα χαμηλής θερμοκρασίας στα οποία φαίνεται πως δυο φορές εσείς -χωρίς ρητά να το αναφέρετε- Εργαστήκατε : )

Ας σημειώσω κάτι για το απλό θέμα: Χρησιμοποίησα την μέθοδο μέτρησης αντίστασης με 4 αγωγούς (Ω4W) για να μπορέσω να βγάλω έξω από το παράθυρο την αντίσταση μαζί με το αισθητήριο θερμοκρασίας που ήταν τοποθετημένα στο μέσον τρύπιου χάρτινου κουτιού ώστε να πάρουν γρήγορα τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος αλλά να μην επηρεάζονται από τυχόν έντονη ροή αέρα.
Εγώ και το πολύμετρο βρισκόμασταν στην καλή για την εποχή "θερμοκρασία δωματίου μας"...
☺

[pez]

Re: Συνθήκες Μετρήσεων
Ας σημειώσω κάτι για το απλό θέμα: Χρησιμοποίησα την μέθοδο μέτρησης αντίστασης με 4 αγωγούς (Ω4W) για να μπορέσω να βγάλω έξω από το παράθυρο την αντίσταση μαζί με το αισθητήριο θερμοκρασίας που ήταν τοποθετημένα στο μέσον τρύπιου χάρτινου κουτιού ώστε να πάρουν γρήγορα τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος αλλά να μην επηρεάζονται από τυχόν έντονη ροή αέρα.
Εγώ και το πολύμετρο βρισκόμασταν στην καλή για την εποχή "θερμοκρασία δωματίου μας"...
☺

.
Χα! Χα! Χα! Χα! Χα! Πολύ γελάσαμε! Πάρα Πολύ Καλό! Ε να! Αυτά είναι που μάς κρατάνε κι εμάς καρφωμένους στο άθλημα... Έχει ενδιαφέρον ό,τι και να πεις! Απαιτεί Επινοητικότητα. Αυτό είναι.

Καθότι κι εμάς μάς βασάνισε αυτές τις μέρες το θέμα: πώς θα γίνει να βγούμε έξω να μετρήσουμε, αν θα τα καταφέρουμε, πού θα βάλουμε το μηχάνημα, να! τέτοια, αλλά το αφήσαμε, δίνοντας προτεραιότητα στα όπως -μάς φαίνονταν- "πιο εύκολα "...

Αλλά και δεν πέρασαν πολλές μέρες από τότε που από τον Καναδά ο συμπαθέστατός μας [διότι με 25 χρόνια καθυστέρηση σε σχέση με εμάς έφθασε να διαπιστώσει κι αυτός εκεί το ίδιο για το τι αντιπροσωπεύουν σήμερα "τα πανεπιστημιακά χαρτιά", κι έτσι ήταν που γίναμε συνδρομητές στο blog του, όπου ακατάσχετα -Καλή Ώρα σαν κι εμάς- φλυαρεί για θέματα που τα βρίσκουμε να είναι πράγματι Χρήσιμα] Καθηγητής, ας πούμε "Πληροφορικής", ανέφερε το ζήτημα που θίγετε και το μικρό προγραμματάκι που έφτιαξε δίνει το κρύο που αισθανόμαστε -Καναδάς γαρ!- όταν φυσάει - για παράδειγμα: Air temperature (Celsius): -3, Wind speed (km/hr): 15 => The temperature feels like -8.12 degrees Celsius:

Calculating wind chill in Fortran

Όμως, από την άλλη μεριά, αν βεβαίως, όπως κι εμείς, δεν τα ξέρετε αυτά: "Η Ρυθμισμένη εσωτερική θερμοκρασία στους 18 C (65 F) είναι η ελάχιστη" διότι "Οι άνθρωποι είμαστε κατά βάση τροπικά ζώα και δεν εξελιχθήκαμε για να προσαρμοστούμε σε ψυχρότερες θερμοκρασίες" ... "Αντίθετα, δημιουργήσαμε το κλίμα που προτιμάμε με την θέρμανση στα σπίτια και τα γραφεία μας", ενώ για άλλα περισσότερο ανατριχιαστικά, εδώ:

Ενεργειακή κρίση: Γιατί ο χαμηλός θερμοστάτης μπορεί να γίνει θανατηφόρος

Επίκαιρα Αλληλοσυνδεδεμένα Όλα!

Θερμούς -παρ' όλα αυτά- Χαιρετισμούς!

: )
.

[pez]

.
- [1]: Λίγο Αργότερα : Προσθήκη διευκρινίσεων αναφορικά με τον θερμοκρασιακό συντελεστή

- [2]: Κι ακόμα Λίγο Αργότερα - Αναδιατύπωση της "ειδοποιού διαφοράς" ψηφιακής-αναλογικής μέτρησης

- [3]: Τις πρώτες ώρες της επομένης - 12 Φεβρουαρίου 2023 - Διόρθωση : Στον χαρακτηρισμό του τύπου : Το Ορθόν "Ιδιότητα Φυσικού Νόμου", Αντί του Λανθασμένου "Φυσικός Νόμος" - Ο τύπος ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ να είναι Φυσικός Νόμος-Συνάρτηση Μαθηματική αφού Συσχετίζει δύο διαφορετικά ["στιγμιότυπα" θα λέγαμε] ζεύγη ( Αριθμητική Τιμή Θερμοκρασίας , Αριθμητική Τιμή Αντίστασης ) ή ( θ , R ) του ήδη θεωρουμένου ως υπαρκτού Νόμου : "Αντίσταση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ της Θερμοκρασίας" - Ερώτηση: Υπάρχει τέτοιος Νόμος; Απάντηση: Αν δεν υπάρχει, τότε κατά μείζονα λόγο ούτε Ιδιότητα του (ανύπαρκτου αυτού) Νόμου-Συνάρτησης δύναται να υπάρξει, κι έτσι η Συζήτηση τερματίζεται "πάραυτα" : ) πριν καν αρχίσει - δεν είναι δυνατόν να αρχίσει : Είναι Αδύνατη - Το έχουμε πει και αλλού : Η (Προ) Υπόθεση της Ύπαρξης μιας σχετικής, με ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ τεχνική μελέτη, μαθηματικής συνάρτησης-"νόμου φυσικού" είναι "Εκ Των Ων Ουκ Άνευ" για την μελέτη. Αλλιώς δεν θα είχαμε τι σχετικό να μελετήσουμε : D ) - Όλα αυτά απαιτούνται παρακάτω όπου επιχειρείται "Εις Άτοπον Απαγωγή" - ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΠΟΝ ΠΟΥ ΤΕΛΙΚΑ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΒΕΒΑΙΑ ΝΑ ΑΦΟΡΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΠΡΟΫΠΟΤΙΘΕΜΕΝΟΥ "ΠΑΣΗΣ ΣΥΖΗΤΗΣΕΩΣ" ΝΟΜΟΥ ΑΛΛΑ Η ΥΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ "ΜΑΣ" ΩΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ - Και Αυτές οι Σκέψεις μας - όπως και εκείνες του θέματος που ακολουθεί, "Επί του Τύπου", είναι επίσης Ηλικίας Δεκαετιών... : )
.
[Με Επιφύλαξη] Λέμε ότι ένας μαθηματικός τύπος είναι [Με Επιφύλαξη] "("φυσικός") νόμος Ιδιότητα Φυσικού Νόμου ("θεωρητικών") μετρήσεων", αν [υποτίθεται πως οφείλει να] επαληθεύει (επαληθεύεται από) τις (θεωρητικές) μετρήσεις "Συμφώνως τω Νόμω" των
-
[Με Επιφύλαξη : Λέμε "θεωρητικές" τις μετρήσεις αντιστάσεων όπως (υποθέτουμε πως) τις νοούμε, σαν νοητικά αντικείμενα, εκείνα που σχηματίζονται στο νου μας ως νοητικά αντικείμενα από τις πραγμα-τικές μετρήσεις - που είναι αυτές που γράφει το τεχνητό πράγμα "πολύμετρο" όταν μετράει τις πραγμα-τικές αντιστάσεις των πραγμα-τικών αντιστατών : στην συγκεκριμένη περίπτωση αντιστοιχίας πραγμάτων-αντικειμένων αυτή δίδεται από την ΙΔΙΑ αριθμητική τιμή-ένδειξη του ΨΗΦΙΑΚΟΥ πολυμέτρου : σε αντίθεση προς την αναλογική "στο περίπου" πραγμα-τική αριθμητική ένδειξη που αντιστοιχείται νοητικά σε (θεωρητική) αντικειμενική αριθμητική ένδειξη, όσο λέει ακριβώς η πραγμα-τική ένδειξη, τόση είναι και (θεωρητική) αντικειμενική αριθμητική ένδειξη που αντιστοιχείται νοητικά. Κι αυτή είναι [Με Επιφύλαξη] αν όχι "Η", οπωσδήποτε ΜΙΑ ειδοποιός διαφορά του ψηφιακού από το αναλογικό πολύμετρο. Σημειωτέον ότι ισχύουν τα αντίστοιχα για κάθε ψηφιακή και αναλογική εκδοχή οργάνου μετρήσεων συμπεριλαμβανομένου εδώ και του ψηφιακού και αναλογικού θερμομέτρων
-
Οπότε, "αμέσως" αναρωτιόμαστε (γι αυτό άλλωστε μόλις κάναμε την ως άνω "εισαγωγή"):

Είναι ο "δικός μας" τύπος - ! ΠΡΟΣΟΧΗ ! με θερμοκρασιακό συντελεστή α : σταθερό ! και ! ΌΧΙ ΜΗΔΕΝ ! μπορεί θετικό-ή-αρνητικό ! ΚΑΙ ! σε δύο οποιεσδήποτε αλλά ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΕΣ θο < θ στις οποίες 0 < Ro και 0 < R :

R = Rο [ 1 + α ( θ2 - θ1 ) ] 

νόμος ΙΔΙΟΤΗΤΑ νόμου μετρήσεων αντίστασης συναρτήσει της θερμοκρασίας;

Υποθέτουμε λοιπόν πως είναι και ελέγχουμε την ΥΠΟΘΕΣΗ μας αυτή "στήνοντας κατάλληλες συνθήκες" για "κατάλληλες συνέπειες" - με δυο λόγια; έτσι πάμε για μια ακόμη "εις άτοπον απαγωγήν". [Πάλι : ΚΙ ΑΥΤΟ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΑΤΟΠΟΝ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΒΕΒΑΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η ΥΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΑΛΛΑ Η ΥΠΑΡΞΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ "ΜΑΣ" ΩΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ]Τότε για τρία ζεύγη μετρήσεων ( θ , R = R(θ) ), [ΌΠΟΥ R = R(θ) ΕΙΝΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΝΟΜΟΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ] ας είναι τα ( θ1 , R1 ) , ( θ2 , R2 ) , ( θ3 , R3 ) , σε τρεις ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ θερμοκρασίες θ1 < θ2 < θ3, ισχύουν τα εξής:

R2 = R1 [ 1 + α ( θ2 - θ1 ) ] 

R3 = R2 [ 1 + α ( θ3 - θ2 ) ] =

R1 [ 1 + α ( θ2 - θ1 ) ] [ 1 + α ( θ3 - θ2 ) ] =

R1 [ 1 + α ( θ3 - θ2 ) + α ( θ2 - θ1 ) + α ( θ2 - θ1 ) α ( θ3 - θ2 ) ] = 

R1 [ 1 + α ( θ3 - θ2 + θ2 - θ1 ) + α ( θ2 - θ1 ) α ( θ3 - θ2 ) ] =

R1 [ 1 + α ( θ3 - θ1 ) + α ( θ2 - θ1 ) α ( θ3 - θ2 ) ] =

R1 [ 1 + α ( θ3 - θ1 ) ] + R1 [ α ( θ2 - θ1 ) α ( θ3 - θ2 ) ] =

R3 = R1 [ 1 + α ( θ3 - θ1 ) ]

Βλέπουμε όμως ότι έτσι προκύπτουν δύο ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ τύποι για την R3. Βγάζουν το ίδιο αποτέλεσμα; Σχηματίζουμε την διαφορά των διαφορετικών δεξιών μελών - θα πρέπει να είναι μηδενική για να είναι βγάζουν το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά αυτή δεν είναι, αφού η έκφραση "που περισσεύει":

R1 [ α ( θ2 - θ1 ) α ( θ3 - θ2 ) ] = R1 α ^ 2 [ ( θ2 - θ1 ) ( θ3 - θ2 ) ]

είναι γινόμενο των 0 < ( θ3 - θ2 ) , 0 < ( θ2 - θ1 ) , 0 < α^2 και 0 < R1 άρα ΔΕΝ είναι μηδέν. Όθεν άτοπη-λανθασμένη η ΥΠΟΘΕΣΗ μας πως "ο τύπος μας" είναι νόμος μέτρησης αντιστάσεων : ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ.

Παρατήρηση: Το "πρακτικό γεγονός" ότι ο α είναι μικρός
-
από κατασκευαστή ως α = ppm x [ 10 ^ (- 6) ] [ βάλαμε x για τον πολλαπλασιασμό - τα ppm αντιστοίχως είναι όχι μηδέν, μπορεί θετικά-ή-αρνητικά ] τότε α ^ 2 = [ (ppm χ 10 ^ (- 6)] ^ 2 = [ ppm ^ 2 ] χ [ 10 ^ (-12) ]
-
δηλαδή το τετράγωνό του (α ^ 2) ΜΠΟΡΕΙ και να είναι ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΜΙΚΡΟ ΠΕΣ ΑΜΕΛΗΤΕΟ, ΣΧΕΔΟΝ ΜΗΔΕΝ, ΠΕΣ ΜΗΔΕΝ, ΔΕΝ ΑΛΛΑΖΕΙ το γεγονός πως αυτός ο τύπος ΔΕΝ είναι νόμος ΙΔΙΟΤΗΤΑ θεωρητικών μετρήσεων.

Και τι είναι;

Χμ... Είναι ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ τύπος θεωρητικών μετρήσεων, άρα και ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ τύπος πραγμα-τικών μετρήσεων... Πάντα: Με Επιφύλαξη.
.

[pez]

.
- Διορθώσεις την επομένη -
.
Το θέμα αυτό "μάς πήρε δεκαετίες" λόγω των -ως συνήθως- αλληλοσυγκρουόμενων "διαβεβαιώσεων"... Αλλά την φορά αυτή αποφασίσαμε: "θα τα πούμε όλα" : D

Λοιπόν.

Έστω ο (μαθηματικός) τύπος αριθμών - χωρίς ΚΑΜΙΑ ΆΛΛΗ "διευκρίνιση":

R = Ro [ 1 + α ( θ - θο ) ]

όπου επισημαίνουμε απλώς ότι στο δεξιό μέρος του ίσον "έχουμε πράξεις" - ξεκάθαρα μία πρόσθεση και μία αφαίρεση και υπονοούμενα δύο πολλαπλασιασμούς - το με ποια προτεραιότητα θα ΠΡΕΠΕΙ να γίνουν αυτές το δηλώνει "το βάθος" αγκυλών και παρενθέσεων [ενώ επειδή εδώ δεν έχουμε πράξεις της αυτής προτεραιότητας να βρίσκονται στο ίδιο βάθος το θέμα της επιλογής της σειράς εκτέλεσής των : ή από αριστερά-προς-τα-δεξιά ή από δεξιά-προς-τα-αριστερά "το αφήνουμε στην μπάντα"].

Μετράμε πόσες είναι οι μεταβλητές R, Ro, α, θ, θο που εμφανίζονται: είναι πέντε 5. Συμπεραίνουμε: πρόκειται για τύπο που "ορίζει" μια ΣΧΕΣΗ μεταξύ 5 μεταβλητών. [Τι θα πει "ορίζει"; Θα πει "κάνει αληθή την Σχέση" (εδώ: μεταξύ των 5 μεταβλητών). ΚΑΘΕ ΣΧΕΣΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ 'Η ΑΛΗΘΗΣ-'Η ΨΕΥΔΗΣ (αποκλειστική διάζευξη "Ή-Ή"). ΕΚ ΤΩΝ ΩΝ ΟΥΚ ΑΝΕΥ ΘΕΜΕΛΙΟ της (Ελληνικής Αριστοτέλειας) Λογικής: ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ Αληθής ΚΑΙ Ψευδής, ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Ούτε Αληθής ΚΑΙ Ούτε Ψευδής. Με αυτή την Λογική Πορευόμαστε (και) εδώ: Λήξις. Και Πότε Ο Τύπος "Μας" 'ορίζει"-"κάνει αληθή" την σχέση "μας"; "Όταν ισχύει". Και πότε "ισχύει"; Όταν ισχύει η εξίσωση που περιέχει ΑΥΤΟΣ ο τύπος. Και πότε ισχύει η εξίσωση; Όταν ΣΥΜΒΕΙ να "ισχύει η ισότητα: ο αριθμός αριστερά να είναι ίσος με τον αριθμό δεξιά - είπαμε: ο τύπος μας είναι αριθμητικός]. Άρα 5 είναι και τα σύνολα ορισμού των μεταβλητών. Άρα η Σχέση είναι [ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ] ένα σύνολο πεντάδων 5-άδων, άρα είναι ένα Υποσύνολο του συνόλου ΌΛΩΝ των 5-άδων ή αλλιώς ένα υποσύνολο του [ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ] Καρτεσιανού Γινομένου [Συμβολικά: Αν |Α , |Β , |Γ , |Δ , |Ε είναι τα σύμβολα των εδώ 5 Συνόλων, τότε το σύμβολο για το Καρτεσιανό Γινόμενό τους είναι |Α Χ |Β Χ |Γ Χ |Δ Χ |Ε], των 5 συνόλων ορισμού των. Και ποια είναι τα σύνολα ορισμού των; Χμ... Αυτό είναι θέμα του (μετα)χειριστή του τύπου. Θα πρέπει δηλαδή να αρχίσουμε τις "διευκρινίσεις" που εξ αρχής ως άνω αποσιωπήσαμε. Δεν μπορούμε να κάνουμε αλλιώς; Χμ... Μπορούμε. Μπορούμε να πούμε ότι και τα 5 σύνολα είναι το καθένα τους υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών |R ["Μπορούμε"; Όχι ακριβώς. Σχεδόν "υποχρεωνόμαστε", επειδή εδώ υπάρχουν αυτές οι πράξεις στο δεξιό μέρος του ίσον που μας δείχνουν ποιο σύνολο ΜΠΟΡΕΙ να αφορά ο τύπος, κι εμείς "έχοντας στο πίσω μέρος του μυαλού μας" το "περί τίνος πρόκειται", "διαλέγουμε" "το πιο ταιριαστό" σύνολο για την περίπτωσή μας] [Συνήθης Υπενθύμιση: Ένα Υποσύνολο ΜΠΟΡΕΙ να είναι Άδειο, "Το Κενό", |0, ΜΠΟΡΕΙ να είναι και "ολόκληρο" το 'Μέγιστο" Υπερσύνολό του. Κι αν το υπερσύνολό του είναι Το Κενό; Χμ... Τότε Σταματάμε να μιλάμε διότι δεν έχουμε τι αν πούμε. Αν είναι Το Κενό, τότε Πάει-Τελείωσε, Τέρμα Η Συζήτηση. Οπότε; Οπότε θεωρούμε υπερσύνολα που ΔΕΝ είναι Το Κενό]. Επιλέγουμε [έχοντας στο "πίσω μέρος του μυαλού μας" κ.λπ., ως προηγουμένως] : Κανένα σύνολο από τα 5 σύνολά "μας" ΔΕΝ είναι Το Κενό ΑΛΛΑ -τουλάχιστον αρχικά- μπορεί να είναι "ολόκληρο" το |R [που - περισσότερο από "παρεμπιπτόντως" : ) - ΔΕΝ είναι Το Κενό]. Έτσι, τα 5 σύνολα "που φτιάχνουν" το Καρτεσιανό Γινόμενο εδώ -δηλαδή ΌΛΕΣ τις 5-άδες- "είναι" εδώ -για εμάς- ΌΛΑ ίδια : το (είπαμε: Μη-Κενό) |R. Χμ... Εντάξει. Αυτό σημαίνει δηλαδή ότι ΚΑΙ το καρτεσιανό γινόμενο είναι ΜΗ-Κενό; Ναι. Αφού, για παράδειγμα, ΥΠΑΡΧΕΙ π.χ. μια πεντάδα -υπάρχουν πολύ περισσότερες, πες άπειρες, αλλά ΑΡΚΕΙ να υπάρχει μία για να έχουμε [ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ] ένα μη-κενό σύνολο- αυτή η συγκεκριμένη των (ίδιων) πραγματικών αριθμών : ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) που ΠΡΑΓΜΑΤΙ αυτή η 5-αδα ανήκει στο Καρτεσιανό Γινόμενο [Συμβολικά]: |R ^ 5. Ωραία. Μετά τι κάνουμε; Χμ... Αφού εξασφαλίσαμε ότι το σύνολο των 5-άδων μας ΔΕΝ είναι Το Κενό, μπορούμε να συνεχίσουμε την συζήτησή μας εξετάζοντας αν ΚΑΙ η Σχέση μας είναι Μη-Κενή, δηλαδή ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΙΑ 5-άδα πραγματικών αριθμών που ΕΠΑΛΗΘΕΥΕΙ τον τύπο. Ε, εντάξει. Δοκιμάζω την εν λόγω 5-άδα ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) : τον επαληθεύει; Χμ... Χαθήκαμε. Ποιο μηδέν θα βάλουμε σε ποια μεταβλητή; Α! Αυτό δε το είπαμε! Λοιπόν ήρθε η πιο κατάλληλη ώρα για να το δούμε για τα καλά αυτό: Για ποιον λόγο βάζουμε μια σειρά ("βάζουμε μια σειρά" σημαίνει "διατάσσουμε") από την Πολλή Αρχή τις μεταβλητές : για να ξέρουμε για ποιαν μεταβλητή μιλάμε. ΓΙΑ ΑΥΤΟ οι 5-άδες είναι διατεταγμένες μεταβλητές μέσα στην 5-άδα "τους", κατά την σειρά αρίθμησής τους, από το 1 -χωρίς άλματα ή ανακατεμένα μπρος-πίσω- έως και το 5, και κατά την επιλογή μας "(από τα) δυτικά (προς τα ανατολικά)" (κυριολεκτικά: γεωγραφική κι όχι μόνον: "πολιτισμική" επιλογή): από τα-αριστερά-προς-τα δεξιά, εδώ από το 1 έως το 5. Θεωρητικά βάζουμε το ίδιο γράμμα, συνήθως κατά την έναρξη μιας συζήτησης, το χ ΜΕ ΚΑΤΩ ΔΕΞΙΑ (εδώ που τα γράφουμε όλα σε μια γραμμή δεν μπορούμε, οπότε αυτό το "κάτω" το υπονοούμε) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΔΕΙΚΤΗ: (x1 , χ2 , χ3 , χ4 , χ5) , οπότε ο δείκτης, ταυτόχρονα, ΚΑΙ τις Ξεχωρίζει μεταξύ τους ΚΑΙ τις Βάζει σε Σειρά. Αλλά εδώ που έχουμε ΗΔΗ διαφορετικά γράμματα; Χμ... Εντάξει. Εδώ είναι ΉΔΗ Ξεχωρισμένες οπότε δεν μένει παρά να τις βάλουμε σε σειρά, και ΔΙΑΛΕΓΟΥΜΕ εδώ αυτή "της πρώτης εμφάνισης" στον τύπο "μας" : Πρώτη : R , Δεύτερη : Ro , Τρίτη : α , Τέταρτη : θ , Πέμπτη : θο ή αλλιώς x1 = R , x2 = Ro , x3 = α , x4 = θ , x5 = θο , οπότε εδώ έχουμε την ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ 5-άδα : ( R, Ro , α , θ , θο ). Λοιπόν; Η ( R =0 , Ro =0 , α =0 , θ =0 , θο =0 ) κάνει τον τύπο ισχύοντα-ισχυρό; Αντικαθιστούμε αριστερά : 0 = , αντικαθιστούμε δεξιά : = 0 [ 1 + 0 ( 0 - 0 ) ] = 0. Ισχύει. Άρα η Σχέση μας είναι Αληθής για την ( R, Ro , α , θ , θο ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) [με την ευκαιρία έχουμε ΕΔΩ και τον ορισμό της ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ "νι-άδων" ("νι-άδα" : ν σε πλήθος αριθμοί, που συμμετέχοντας στην ν-ιάδα λέγονται και ΜΕΛΗ της ν-ιάδας: πρώτο, δεύτερο, ... , ν-οστό Μέλος της ν-ιάδας , εδώ ν = 5, σε (οριζόντια) σειρά διατεταγμένοι, "κλεισμένοι" εντός δύο παρενθέσεων, "(" στα αριστερά και ")" στα δεξιά, και ξεχωρισμένοι με 4 κόμματα "," κι όπου ΙΣΕΣ πεντάδες σημαίνει ΊΣΑ ένα-προς-ένα τα μέλη της αυτής τάξεως, ίσα μεταξύ τους ανά δύο και ανά θέση: ίσα τα πρώτα, ίσα τα δεύτερα, ..., ίσα τα πέμπτα, ΊΣΟΙ μεταξύ τους αριθμοί]. Άρα η Σχέση μας είναι Μη-Κενή. Άρα μπορούμε να συνεχίσουμε την συζήτησή μας - πλην όμως σε επόμενο μήνυμα : )

Χαιρετισμούς!

ΥΓ Εντάξει. Μπορεί κανείς να προείπει -ορθώς- ότι "επειδή όλοι οι αριθμοί είναι ίδιοι, δεν έχει σημασία ποιος θα πάρει ποιο από τα ίδια μηδενικά, κι έτσι θα πρέπει να επιλεγεί ένα "καλύτερο παράδειγμα". Ναι. Πράγματι. Θα μπορούσε. Θα μπορούσε "να λυθεί" η ισότητα "βγάζοντας" π.χ τον x1, στα αριστερά του ίσον, με πράξεις πάνω σε άλλους 4 στα δεξιά του ίσον. Αυτό όμως είναι εισαγωγή στο ως άνω "επόμενο μήνυμα" : )